Ve více vzorcích se zobrazuje tento symbol:

∑: Suma (součet). Tento symbol značí, že máme sečíst hodnoty pro všechny hodnoty (od 𝑖=1i=1 do 𝑖=𝑛i=n).

Pro lepší pochopení následující látky je dobré si připomenout co to je Normální rozdělení a Centrální limitní věta.

Centrální limitní větu

ta říká, že když máme velký počet pozorování,
tak jejich součet se chová jako náhodná veličina s normálním rozdělením.

Vlastnosti a aplikace normálního rozdělení tedy můžeme často použít i na
součty mnoha pozorování.

Později uvidíme, že toto je velice důležitý znát při výběru testů a modelů a jejich předpokladů.

Členění statistiky a testování hypotéz

Než se pustíme více do metod výzkumu připomene si dva druhy statistiky

Popisná (deskriptivní)

zpřehlednit získaná data
charakterizovat pomocí kvantitativních charakteristik (míry středu, míry variability, míry tvaru) Statistika na první test

Induktivní (inferenční, testovací)

z pozorovaných dat děláme závěry s udáním stupně jejich spolehlivosti

Stupně spolehlivosti příklad

Máme 100 pozorování výšky obyvatel České republiky.
Průměr jejich výšek je 177. Dejme tomu, že jsme spočítali, že 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu jejich výšky je <173, 181>.
To nám fiká, že střední („průměrná") hodnota náhodné veličiny Výška Čecha se s 95% pravděpodobností nachází v tomto intervalu (<173, 181>)

Testování hypotéz

většinou pracujeme s výběrovými daty
- potřebujeme vědět, zda to, co jsme naměřili ve vzorku platí v celé populaci

Formální postup

Zvolíme si hladinu významnosti, obvykle α (p)=0,05
- pravděpodobnost, že zamítnu nulovou hypotézu
Nulová a alternativní hypotéza
Volba testu
Výpočet testového kritéria
Vyhodnocení hypotéz

Chyby usuzování

hladina významnosti α = pravděpodobnost
chyby 1. druhu

[^Statistics for people who think they hate statistics 7th edition]

Buňka 2, ukazuje chybu I. typu. Zde jsme zamítli nulovou hypotézu,
(že neexistuje žádný rozdíl), i když je ve skutečnosti pravdivá (a rozdíl existuje).

Další typ chyby II. typu je v buňce 3. Zde jsme přijali nulovou hypotézu (že neexistuje žádný rozdíl). I když je ve skutečnosti nepravdivá (a ve skutečnosti rozdíl mezi skupinami existuje).

Statistické testy

Umožňují odvodit z výsledků ve výběrech
(optimálně náhodných), závěry týkající se
základního souboru.

Vzorečky na metody

Jak vybrat správný test

Časté možnosti využití, když je třeba porovnáváme :

dva výběry mezi sebou
průměr náhodného výběru a teoretickou
střední hodnotu
počty pozorované a očekávané atd.

Statistické testy jsou založeny na výpočtech testové statistiky, která mají známé teoretické rozdělení (normální, t-rozdělení, F, x², U …)

Lze určit, jakou hodnotu má testová statistika, pokud platí H₀ (výsledek je v rámci platnosti nulové hypotézy).

Podle výsledku testu (a stupňům volnosti, d.f., s.v. – určují se z počtu nezávislých pozorování) se stanoví, jestli pozorované odchylky ve výsledcích jsou jen dílem náhody nebo se jedná o signifikantní (tj. statisticky významné) výsledky.

Jako výsledek statistického testu lze uvést:

hodnotu testové statistiky, testovacího kritéria (např. t, F, $χ$ ², U…..)

Příklady použití testů

testuji, zda můj výběr má střední hodnotu shodnou s danou hodnotou populace – jednovýběrový t-test
(H : μ = průměr hodnot x výběru)

dlouhodobá průměrná denní teplota v červnu je μ= 17.5 °C. Byla letos stejná nebo se lišila signifikantně?

testuji, zda dva náhodné výběry (nezávislé) pochází ze stejného základního souboru (mají stejnou střední hodnotu) – dvouvýběrový t-test (H : μ = μ )

Výkony žen a mužů v testu

testuji, zda rozdíl párových hodnot (závislých) je roven dané hodnotě (většinou 0) - párový t-test (H : μ - μ =0)

výkon v testu ráno a večer u stejné skupiny osob.

Parametrické vs Neparamatrické testy

Parametrické testy

Výpočet je založen na využití parametrů (průměr,
rozptyl, směrodatná odchylka).

Všechny zmíněné testy v tomto souboru jsou parametrické

Předpoklady použití:

normalita dat
- pokud mám dostatek dat, obvykle se rozdělení
- blíží normálnímu Centrální limitní věta
- pokud mám dat málo (n=30, příp. méně), většinou nemůžu prokázat, že data pochází z normálního rozdělení
- potřeba ověření je však v obou případech,

metrická stupnice (intervalová, poměrová)

nepoužívají se u nominální a pořadové stupnice.

Neparametrické testy

• Výpočet je založen zejména na mediánech a
pořadí. Nevyužívají se parametry.

nejsou tak silné, jako parametrické

Neparametrické testy

Použití neparametrických testů:

• Rozdělení dat odlišné od normálního.
• Malé výběry (cca do 30).
• Nemetrický charakter proměnných (pořadové,
nominální) nebo i metrické (kardinální)
proměnné s asymetrickým rozložením (tj. odlišné od normálního).

Příklady alternativ

chci zjistit, jestli se liší znalosti (= počet bodů v testu) žáků 2 gymnázií
dvouvýběrový t-test (parametrický)
U-test (neparametrický)
chci zjistit, jestli se liší znalosti (= počet bodů v testu) stejných žáků před a po prázdninách
párový t-test (parametrický)
Wilcoxonův test (neparametrický)

Příklad

chci prokázat: žáci z gymnázia A mají lepší znalosti než z gymnázia B

formuluji hypotézu: H0 : Zjištěné znalosti ve výběrech žáků obou 0
gymnázií pochází z jednoho základního souboru (úroveň znalostí se neliší)

alternativní hypotéza: Ha : Výběry zjištěných znalostí žáků z A
gymnázií A a B nepochází z jednoho základního souboru (=
úroveň znalostí se liší)

provedu testování, do jaké míry je pravděpodobné, že oba výběry pochází ze stejného základního souboru

pokud je pravděpodobnost příslušná zjištění malá (p < 0.05), zamítnu H0 a akceptuji Ha

pokud je p > 0.05, nemůžu zamítnout H0

Zamítnutí nulové hypotézy zároveň značí, že mezi skupinami je ve znalostech statisticky významný rozdíl (signifikantní).

Dvou výběrový t-test - postup

T-testy používáme, když neznáme populační směrodatnou odchylku a z-test když ano.

rovnají se rozptyly?

shodnost rozptylů testuji F-testem
(H : s2 = s2 )

Počítáme jako poměr většino rozptylu k menšímu rozptylu

F = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}

Kritické hodnoty se určují z F-rozdělení pro zvolenou hladinu významnosti (např. 0.05 pro 95% interval spolehlivosti) a pro odpovídající stupně volnosti, které jsou df1=n1−1 a df2=n2−1

Hodnotu hledáme ručně v tabulkách, pokud počítáme ručně.

pokud p větší než 0.05 – nemůžu zamítnout H0 → rozptyly se rovnají (to je většinou)

pokud p menší než 0.05 – můžu zamítnout H0→ rozptyly se nerovnají

Dvouvýběrový t-test (Studentův test = t-test)

Testovací kritérium t - pro s 2 ~ s 2:

t = \frac{| {\overset{―}{x}}_{1} - {\overset{―}{x}}_{2} |}{\sqrt{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2}}} \cdot \sqrt{\frac{n_{1} n_{2} (n_{1} + n_{2} - 2)}{n_{1} + n_{2}}}

Testovací kritérium t - pro s 2 > s 2:

t = \frac{| x_{1} - x_{2} |}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1} - 1} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2} - 1}}}

(Počet stupňů volnosti: df = n - 1, df = n – 1).

Grafické vyjádření

pro znázornění t-testu je vhodný krabicový graf
Krabicový graf

T-test pro párované hodnoty (parametrický)

Testovací kritérium: $t = \frac{| \bar{d} | . \sqrt{n - 1}}{S_{d}}$

kde |¯d| je absolutní hodnota průměrné diference párovaných hodnot a s je směrodatná odchylka této diference. Počítá se jako běžně směrodatná odchylka, tj.:

s_{d} = \sqrt{\frac{\sum d^{2} - \frac{(\sum d)^{2}}{n}}{n - 1}}

Proč n-1?

Jelikož děláme příklad z dat, která nejsou sterjná jako data z celkové populace, poze odhadujeme. Pro případy kdy by byli reálné výsledky populace slabší, je lepší nadhodnocovat výsledky testových statistik

Poté je třeba porovnat hodnotu testové statistiky t s hodnotou t-rozdělení, která náleží p=0,05 a df=9. Pokud je t vyšší, pak je signifikantní výsledek.
(Toto se uplatňuje při ručním počítání.) A používají se na to tabulky.

T-test pro nezávislé výběry

(výstup z PSPP)

Pro vyhodnocení se koukáme na sloupečky F (čím vyšší, tím lepší), t (t-statistika), df (stupně volnosti), Sig. (2-tailed) p hodnota.

Takže by nás mohlo zajímat celková Signifikance, 5. řáded. Jenom první dvě jsou pod hodnotou 0,05.

T-test pro závislé výběry

(výstup z PSPP)

Koukáme na poslední řádek, ten se rovná 0,47, což je větší než 0,05.

Testy shody

Parametrický test – Chí kvadrát test (χ2)

· Podmínky: žádná kategorie s nulovou četností; maximálně 20 % s četností menší než 5

Testovací kritérium

χ 2 = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(A_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

Ai = pozorovaná četnost (někdy označováno jako Oa Ei = očekávaná četnost)
Pokud je hodnota testovacího kritéria vyšší, než příslušná kritická hodnota rozdělení chí-kvadrát, hypotézu o shodě dvou rozdělení zamítáme (na příslušné hladině významnosti)

ANOVA

ANOVA, Více faktorová ANOVA

NÁZEV: Analýza rozptylu

CÍL: hledat rozdíly v průměrech několika skupin(nechceme porovnávat kontrolní a testovací skupinu, ale třeba kontrolní, druhá bude v posteli, třetí na zemi, čtvrtá na vodní posteli, pátá …)

Anglicky ANOVA – ANalysis Of VAriance

Linerání regresní analýza

Lineární regresní analýza

Výsledkem je model vztahu mezi dvěma a více proměnnými
přesněji než korelace popisuje poodbu zvathu mezi proměnnámi